11.12.18
חיפוש מתקדם

יחידת הוראה במתמטיקה -חידת ארבעת הצבעים

  • מספר עבודה: 1685
  • שנת הגשה: 2009
  • מוסד לימודים: המכללה האקדמית לחינוך אחווה
  • מספר עמודים: 17
  • מספר מילים: 2435
  • מספר מקורות: 5
  • קורס: העשרה מתמטית
  • סוג עבודה: סיכום קורס
  • סוג תואר: לימודי תעודה
  • מחיר: 100 ₪
    מחיר
    100.00₪ (ILS)

תקציר העבודה:

הבעיה הטופולוגית שלהלן, חורגת מתוכנית הלימודים הרגילה , ומהווה סטייה מרעננת הממריצה את התלמידים לקראת המשך הלימודים השגרתיים. במקביל, מעסיק השיעור את התלמידים במשימה אינטלקטואלית אמיתית הדורשת חשיבה מתמטית מאורגנת. הוא גם מאפשר לתלמידים לעבוד בקבוצות קטנות, להתייעץ איש עם רעהו ולהחליף רעיונות ושיטות לפתרון בעיות. השיעור נותן לתלמידים אפשרות להעלות השערות והכללות, ומעל לכל , הוא מבטיח לכל תלמיד הזדמנות להשיג הצלחה אישית. בביצוע משימת חקר מעין זו רוכשים התלמידים יכולת מתמטית תוך עיסוק בבעיות ממשיות ומרתקות הלקוחות מן המציאות. השיטה מסבירה לתלמיד: "אנו לומדים מתמטיקה משום שבעזרתה אנו יכולים לפתור בעיות מעשיות אשר הן בעיות מעניינות, מציאותיות, ובעיקר בעיות המהוות אתגר. זהו ביטוי לפילוסופיה האומרת " למידה היא עשייה ועשייה משמעותה ידע". על צביעת מפות וחידת ארבעת צבעים משפט ארבעת הצבעים הוא תוצאה בולטת בהיסטוריה של הטופולוגיה הקומבינטורית ושל תורת הגרפים. לפי המשפט, אפשר לצבוע כל מפה מדינית, באופן שכל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבע שונה, תוך שימוש בארבעה צבעים בלבד. מתמטיקאים החלו לחקור את הבעיה באמצע המאה התשע-עשרה. היא נודעה כ 'השערת ארבעת הצבעים', וזכתה ל 'הוכחות' שגויות רבות. בניסוח מודרני, המשפט מבטיח שלכל גרף מישורי קיימת צביעת קודקודים בארבעה צבעים. אנשי תורת הגרפים מכירים הוכחות קלות יחסית לכך שקיימת צביעה בחמישה צבעים, אבל ההוכחה לכך שאפשר להסתפק בארבעה נמצאה רק ב- 1976, והיא כרוכה בחיפוש ממוחשב על-פני אלפי מקרים. זו הייתה ההשערה המפורסמת הראשונה שהוכחה בעזרת מחשב, ובתחילה לא הייתה הסכמה כללית על תקפות ההוכחה, בעיקר בנימוק שלא הוכחה נכונותן של תוכניות המחשב עצמן. מאז נעשו ניסיונות רבים למצוא הוכחה סטנדרטית יותר, שיכולה לעמוד לביקורת עמיתים. הוכחה כזו עדיין לא נמצאה. האיור משמאל מציג מפה סכמטית של ארבע מדינות, שלכל אחת מהן יש גבול משותף עם כל האחרות. לכן לא ניתן לצבוע אותה בפחות מארבעה צבעים. מפות וגרפים הקשר בין מפות מישוריות לבין גרפים מישוריים מבוסס על בנית הגרף הדואלי, שהיא בניה סטנדרטית בתורת הגרפים. בגרף המתאים למפה נתונה, כל מדינה מיוצגת על-ידי צומת, וכל שתי מדינות שלהן יש גבול משותף מחוברות בקשת בין שני הצמתים המתאימים. משמאל מוצגת דוגמה למפה ולגרף המתאים לה. כעת, צביעת המדינות על המפה שקולה לבחירת צבע בכל קודקוד, באופן כזה שלשני קודקודים המחוברים בקשת יש צבעים שונים. צביעה כזו של הגרף נקראת צביעת קודקודים. הוכחת משפט ארבעת הצבעים בשנת 1976 נעזרו וולפגאנג האקן וקנת אפל מאוניברסיטת אילינוי בשרשראות של קמפ, כדי להראות שכל מפה אפשרית שקולה לאחת מבין 1,936 מפות שונות. לאחר מכן הם הריצו מחשב במשך 1,200 שעות כדי להראות שכל אחת ממפות אלה ניתנת לצביעה בארבעה צבעים. בשנת 1996 ניתנה הוכחה דומה, שבה היה די בבדיקה של 663 מפות. גם בדיקה זו דרשה הסתייעות במחשב [1].

XXXX